Question

修建一个面积为s（s＞2.5）平方米的矩形场地的围墙，要求在前面墙的正中间留一个宽度为2米的出入口，后面墙长度不超过20米．已知后面墙的造价为每米45元，其他墙的造价为每米180元．设后面墙长度为x米，修建此矩形场地围墙的总费用为f（x）元．
（1）求f（x）的表达式；
（2）试确定x，使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用．

Answer 1

考点：导数在最大值、最小值问题中的应用,基本不等式在最值问题中的应用

专题：应用题,不等式的解法及应用

分析：（1）设矩形的另一边长为am，根据面墙的造价为每米45元，其他墙的造价为每米180元，可得函数关系式；
（2）求导数，可得f（x）在[2，

2 10s

5

]递减，在[

2 10s

5

，+∞)递增，再分类讨论，即可得出结论．

解答： 解：（1）设矩形的另一边长为am，（1分）
则f（x）=45x+180（x-2）+180•2a=225x+360a-360（2≤x≤20），（3分）
由已知xa=s，所以f(x)=225x+

360s

x

-360，x∈[2，20]（5分）
（2）∵s＞2.5，∴

2 10s

5

＞2，
∵f′（x）=225-

360

x2

，
∴f（x）在[2，

2 10s

5

]递减，在[

2 10s

5

，+∞)递增，（7分）
若

2 10s

5

≤20，即s≤250，则当x=

2 10s

5

时，最小总费用为f(x)min=180

10s

-360（元）（10分）
若

2 10s

5

＞20，即s＞250，则当x=20时，最小总费用为f（x）_min=4140+18s（元）（13分）

点评：本题考查函数模型的建立与运用，考查导数知识，考查分类讨论的数学思想，正确分类是关键．