Question

【题目】已知函数，其中为实数.

（1）求函数的单调区间；

（2）若函数有两个极值点，求证：.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）证明见解析

【解析】

（1）计算导数，采用分类讨论的方法，，与，根据导数的符号判定原函数的单调性，可得结果.

（2）根据（1）的结论，可得，然后构造新函数，通过导数研究新函数的单调性，并计算最值，然后与比较大小，可得结果.

（1）函数的定义域为，

①若，即时，

则，此时的单调减区间为；

②若，时，

令的两根为，

，

，

所以的单调减区间为，，

单调减区间为.

③当时，

，

，

此时的单调增区间为，

单调减区间为.

（2）当时，

函数有两个极值点，

且，.

则

则

要证，

只需证.

构造函数，

则，

在上单调递增，又，

，且在定义域上不间断，

由零点存在定理可知：

在上唯一实根，且.

则在上递减，上递增，

所以的最小值为.

因为，

当，，则，

所以恒成立.

所以，

所以，得证.