Question

已知函数f（x）=ax³+bx²+cx在点x₀处取得极大值5，其导函数y=f′（x）的图象经过点（1，0），（2，0），如图所示．求：
（1）x₀的值；
（2）a，b，c的值．
（3）若曲线y=f（x）（0≤x≤2）与y=m有两个不同的交点，求实数m的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的极值,利用导数研究函数的单调性

专题：综合题,导数的概念及应用

分析：（1）观察图象满足f′（x）=0的点附近的导数的符号的变化情况，来确定极大值，求出x₀的值；
（2）根据图象可得f'（1）=0，f'（2）=0，f（1）=5，建立三个方程，联立方程组求解即可；
（3）由（1）知，函数在[0，1]上单调递增，在[1，2]上单调递减，求出相应函数值，即可求实数m的取值范围．

解答： 解：（1）由图象可知，在（-∞，1）上f'（x）＞0，在（1，2）上f'（x）＜0．
在（2，+∞）上f'（x）＞0．
故f（x）在（-∞，1），（2，+∞）上递增，在（1，2）上递减．
因此f（x）在x=1处取得极大值，所以x₀=1．
（2）f'（x）=3ax²+2bx+c，
由f'（1）=0，f'（2）=0，f（1）=5，
得

3a+2b+c=0 12a+4b+c=0 a+b+c=5

，
解得a=2，b=-9，c=12
（3）由（1）知，函数在[0，1]上单调递增，在[1，2]上单调递减，
∵f（x）=2x³-9x²+12x，
∴f（0）=0，f（1）=5，f（2）=4，
∵y=f（x）（0≤x≤2）与y=m有两个不同的交点，
∴m∈[4，5）．

点评：本题主要考查了利用导数研究函数的极值、单调性，以及观察图形的能力，属于中档题．