Question

已知直角三角形的周长为定值L，求它的面积的最大值．由此你能得到什么结论？

Answer 1

考点：基本不等式

专题：不等式的解法及应用

分析：设直角三角形的两条直角边分别为a、b，可得a+b+

a2+b2

=L．利用三角形的面积计算公式、基本不等式的性质即可得出．

解答： 解　设直角三角形的两条直角边分别为a、b，则斜边为

a2+b2

，由题意得a+b+

a2+b2

=L．
∵a、b均为正数，∴a+b≥2

ab

，

a2+b2

≥

2ab

（当且仅当a=b时等号成立）．
∴L=a+b+

a2+b2

≥2

ab

+

2ab

．
即

ab

≤

L

2+ 2

，故ab≤

L2

6+4 2

．
又S_△ABC=

1

2

ab，
∴

1

2

ab≤

L2

12+8 2

=

3-2 2

4

L²．
∴当a=b时，S_△ABC取得最大值S_max=

3-2 2

4

L²．
结论：直角三角形周长一定时等腰直角三角形面积最大．

点评：本题考查了三角形的面积计算公式、基本不等式的性质、勾股定理，属于基础题．