Question

(理)已知直三棱柱中，，是棱的中点．如图所示．
 
(1)求证：平面；
(2)求二面角的大小．

Answer 1

(1)证明见解析；（2）.

试题分析：（1）本题中由于是直棱柱，且底面中，即两两垂直，因此我们可以建立空间直角坐标系，用空间向量来解决立体几何问题，要证明线面垂直，只要在平面内任取两个不共线的向量如，只要计算出，，就能证明线线垂直，从而得证线面垂直；（2）而要求二面角的大小，可通过求两个面和的法向量的夹角来求，法向量的夹角与二面角互补或相等来求，下面就是想办法求法向量了，如平面，可设是它的法向量，利用，得到，只要令，就可得到一个法向量.
试题解析：(1)按如图所示建立空间直角坐标系．由题知，可得点、、
、、、．
于是，．
可算得．
因此，．
又，
所以，．

(2)设是平面的法向量．
∴
又，
∴取，可得即平面的一个法向量是．
由(1)知，是平面的一个法向量，
记与的夹角为，则，．
结合三棱柱可知，二面角是锐角，
∴所求二面角的大小是．