Question

如图，在三棱锥中，直线平面，且
，又点，，分别是线段，，的中点，且点是线段上的动点．
证明：直线平面；
(2) 若，求二面角的平面角的余弦值．

Answer 1

(1)参考解析；(2)

试题分析：（1）点，，分别是线段，，的中点所以, 平面PAC．所以平面PAC．同理证明MN 平面PAC．又由于．所以平面QMN平面PAC．又平面QMN．所以直线平面．
（2）根据已知条件建立坐标系，写出关键点的坐标，并写出相应的向量，计算平面QAN与 MAN的法向量，求法向量的夹角，即可得到结论．
（1）．连结QM   因为点，，分别是线段，，的中点
所以QM∥PA     MN∥AC     QM∥平面PAC   MN∥平面PAC
因为MN∩QM=M  所以平面QMN∥平面PAC    QK平面QMN
所以QK∥平面PAC         7分
（2）方法1：过M作MH⊥AN于H，连QH，则∠QHM即为
二面角的平面角, 令
即QM=AM=1所以
此时sin∠MAH=sin∠BAN=   MH=   记二面角的平面角为
则tan=    COS=即为所求。        14分
方法2：以B为原点，以BC、BA所在直线为x轴y轴建空间直角坐标系，设
则A（0,2,0），M（0,1，0），N（1,0,0），p(0,2,2),Q(0,1,1),
="(0,-1,1),"   
记，则
取   
又平面ANM的一个法向量，所以cos=
即为所求。              14分