Question

如图，在正四棱锥P－ABCD中，PA＝AB＝，点M，N分别在线段PA和BD上，BN＝BD．
（1）若PM＝PA，求证：MN⊥AD；
（2）若二面角M－BD－A的大小为，求线段MN的长度．

Answer 1

（1）详见解析;（2）．

试题分析：（1）由于这是一个正四棱锥，故易建立空间坐标系，易得各点的坐标，由，得，由，得，即可求得向量的坐标：．不难计算出它们的数量积，问题得证;（2）利用在上，可设，得出点的坐标，表示出，进而求出平面的法向量n＝(λ－1，0，λ)，由向量的夹角公式可得，解得，从而确定出，由两点间距离公式得.
试题解析：证明：连接交于点，以为轴正方向，以为轴正方向，为轴建立空间直角坐标系．
因为，则．
（1）由，得，由，得，
所以．
因为．所以.                   4分
（2）因为在上，可设，得．
所以．
设平面的法向量，
由得
其中一组解为，所以可取n＝(λ－1，0，λ).        8分
因为平面的法向量为，
所以，解得， 
从而，
所以.                      10分