Question

如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=30°，∠ABC=90°，D为AC中点，于，延长AE交BC于F，将ABD沿BD折起，使平面ABD平面BCD，如图2所示.

（1）求证：AE⊥平面BCD；
（2）求二面角A–DC–B的余弦值．
（3）在线段上是否存在点使得平面？若存在,请指明点的位置；若不存在，请说明理由.

Answer 1

（1）详见解析，（2），（3）

试题分析：（1）已知条件为面面垂直，，因此可利用定理转化为线面垂直.折叠前后皆有而平面，为两平面的交线，由平面ABD平面BCD，可得AE⊥平面BCD.（2）求二面角，有两个方法，一是做出二面角的平面角，二是利用空间向量.本题由于有AE⊥平面BCD，可利用三垂线定理及其逆定理做出二面角的平面角，即过点E作EM垂直CD于M，连AM，则AM垂直CD，所以为二面角的平面角.利用空间向量求二面角，关键求出面的法向量，由于平面可知平面DCB的法向量为.平面的法向量可列方程组求出，再利用向量的数量积求出其夹角的余弦值.（3）探索点，从线面平行性质定理出发，利用平面得EM平行过EM平面与平面的交线.由于过EM平面的任意性，难以确定M位置.本题利用空间向量解决就比较简单，设，利用法向量与平面内任一直线垂直，可解出，从而确定M位置.
试题解析：（1）因为平面平面，交线为，
又在中，于，平面
所以平面.                   3分

（2）由（1）结论平面可得.
由题意可知，又.
如图，以为坐标原点，分别以所在直线为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系
4分
不妨设，则.
由图1条件计算得，，，
则   5分
.
由平面可知平面DCB的法向量为.                 6分
设平面的法向量为，则
即
令，则，所以.                  8分
平面DCB的法向量为
所以，
所以二面角的余弦值为               9分
（3）设，其中.
由于，
所以，其中             10分
所以             11分
由，即             -12分
解得.              13分
所以在线段上存在点使，且.      14分