Question

如图，四棱锥的底面是正方形，侧棱底面，过作垂直交于点，作垂直交于点，平面交于点，且，.

（1）设点是上任一点，试求的最小值；
（2）求证：、在以为直径的圆上；
（3）求平面与平面所成的锐二面角的余弦值.

Answer 1

（1）；（2）详见解析；（3）.

试题分析：（1）将侧面和侧面沿着展开至同一平面上，利用、、三点共线结合余弦定理求出的最小值，即线段的长度；（2）证平面，从而得到，同理得到，进而证明、在以为直径的圆上；（3）方法一是建立以点为坐标原点，分别以、、所在的直线为、、轴的空间直角坐标系，利用空间向量法求平面与平面所成的锐二面角的余弦值；方法二是延长与使得它们相交，找出二面角的棱，然后利用三垂线法找出平面与平面所成的锐二面角的平面角，利用直角三角函数来求相应角的余弦值.
试题解析：（1）将侧面绕侧棱旋转到与侧面在同一平面内，如下图示，

则当、、三点共线时，取最小值，这时，的最小值即线段的长，
设，则，
在中，，，
在三角形中，有余弦定理得：
，
，
（2）底面，，又
平面，又平面，，
又，平面，
又平面，，
同理，、在以为直径的圆上；
（3）方法一：如图，以为原点，分别以、、所在的直线为、、轴，建立空间直角坐标系如下图示，则，，由（1）可得，，平面，
为平面的一个法向量，
为平面的一个法向量，
设平面与平面所成的锐二面角的平面角为，
则，
平面与平面所成的锐二面角的余弦值；
方法二： 由可知，故，
又面，
面，面，
设平面平面，平面，，
，，
又，平面，又平面，
，，
为平面与平面所成的锐二面角的一个平面角，

，
平面与平面所成的锐二面角的余弦值为.