Question

经调查统计，某种型号的汽车在匀速行驶中，每小时的耗油量y（升）关于行驶速度x（千米/时）的函数可表示为y=

1

120000

x³-

1

50

x+

18

5

（0＜x≤100）．已知甲、乙两地相距100千米，在匀速行驶速度不超过100千米/时的条件下，该种型号的汽车从甲地到乙地的耗油量记为f（x）（升）．
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）讨论函数f（x）的单调性，当x为多少时，耗油量f（x）为最少？最少为多少升？

Answer 1

考点：导数在最大值、最小值问题中的应用

专题：应用题,导数的综合应用

分析：（I）把用的时间求出，再乘以每小时的耗油量y即可求函数f（x）的解析式；
（II）求导函数，利用导数的正负，即可求出h（x）的极小值，判断出就是最小值即可．

解答： 解：（Ⅰ）由题意得，汽车从甲地到乙地行驶了

100

x

小时，…（2分）
∴f（x）=（

1

120000

x3-

1

50

x+

18

5

）•

100

x

=

1

1200

x2+

360

x

-2（0＜x≤100）．         …（5分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）有，f′（x）=

x3-216000

600x2

．   …（8分）
令f′（x）=0，得x=60．      …（9分）
①当x∈（0，60）时，f′（x）＜0，f（x）是减函数；    …（10分）
②当x∈（60，100]时，f′（x）＞0，f（x）是增函数；  …（11分）
∴当x=60，即汽车的行驶速度为60（千米/时）时，从甲地到乙地的耗油量f（x）为最少，最少耗油量为f（60）=7（升）．         …（12分）

点评：本小题主要考查函数、导数及其应用等基本知识，考查运用数学知识分析和解决实际问题的能力．