Question

9．某公司出售某种商品，统计了这种商品的销售价x（万元/吨）与月销售量y（吨）的关系 如表：

X（万元）	3	4	5	6	7
Y（吨）	90	83	75	65	52

$\left\{\begin{array}{l}b=\frac{{\sum_{i=1}^n{（x_i-\overline x）（y_i-\overline y）}}}{{\sum_{i=1}^n{{{（x}_i-\overline x）}^2}}}\\ a=\overline y-b\overline x\end{array}\right.$
（1）已知y与x有关相关关系，并且可以用y=bx²+a来拟合，根据表中数据，建立y关于x 的回归方程；（b，a的结果保留整数位）
（2）已知这种商品的进价为2万元/吨，月利润为z万元，问销售价x（单位：万元/吨）为多少时，利润z最大？（精确到0.01，$\sqrt{3.04}=1.744$）

Answer 1

分析 （1）求出y关于x²的线性回归方程即可，
（2）求出利润Z关于x的函数，根据二次函数的性质可得利润Z最大．

解答 解：（1）令m=x²，则y与m具有线性相关关系，m与y的对于关系如下：

m	9	16	25	36	49
y	90	83	75	65	52

则$\overline{m}$=27，$\overline{y}$=73，$\sum_{i=1}^{5}（{m}_{i}-27）（{y}_{i}-73）$=-954，$\sum_{i=1}^{5}（{m}_{i}-27）^{2}$=1014，
设y关于m的回归方程为$\stackrel{∧}{y}$=$\stackrel{∧}{b}$m+$\stackrel{∧}{a}$，
则$\stackrel{∧}{b}$=-$\frac{954}{1014}$≈-1，$\stackrel{∧}{a}$=53-（-1）×27=80．
∴y关于m的回归方程为$\stackrel{∧}{y}$=-m+80，
∴y关于x的回归方程为$\stackrel{∧}{y}$=-x²+80．
（2）利润z关于销售价x的函数为z（x）=xy-2x=-x³+78x，x＞0，
z′（x）=-3x²+78，令z′（x）=0得x=$\sqrt{26}$，
∴0＜x＜$\sqrt{26}$时，z′（x）＞0，当x＞$\sqrt{26}$时，z′（x）＜0，
∴z（x）在（0，$\sqrt{26}$）上单调递增，在（$\sqrt{26}$，+∞）上单调递减，
∴当x=$\sqrt{26}$≈5.10时，z（x）取得最大值z（$\sqrt{26}$）≈265.15．
∴当定价为5.1万元时利润最大，最大利润为265.15万元．

点评 本题考查了二次拟合的回归方程求解，数值预测，属于中档题．