Question

13．已知函数$f（x）=Asin（ωx+ϕ）（A＞0，ω＞0，|ϕ|＜\frac{π}{2}）$，则下面结论正确的是（　　）

• A． 函数f（x）的最小正周期为$\frac{π}{2}$
• B． 函数f（x）是偶函数
• C． 函数f（x）的图象关于直线$x=\frac{π}{3}$对称
• D． 函数f（x）在区间$[0，\frac{π}{4}]$上是增函数

Answer 1

分析 根据函数f（x）的图象求出f（x）的解析式，再判断四个选项是否正确即可．

解答 解：根据函数f（x）=Asin（ωx+φ）的图象知，
最大值为A=2，
半周期为$\frac{T}{2}$=$\frac{4π}{9}$-$\frac{π}{9}$=$\frac{π}{3}$，
∴$\frac{π}{ω}$=$\frac{π}{3}$，
解得ω=3；
当x=$\frac{1+4}{9×2}$π=$\frac{5π}{18}$时，
3×$\frac{5π}{18}$+φ=$\frac{π}{2}$+2kπ，k∈Z，
即φ=-$\frac{π}{3}$+2kπ，k∈Z，
又|φ|＜$\frac{π}{2}$，
∴φ=-$\frac{π}{3}$，
∴f（x）=2sin（3x-$\frac{π}{3}$）；
∴f（x）的周期为T=$\frac{2π}{3}$，A错误；
f（x）既不是奇函数，也不是偶函数，B错误；
当x=$\frac{π}{3}$时，f（x）=2sin$\frac{2π}{3}$=$\sqrt{3}$，不是最值，
∴f（x）的图象不关于直线$x=\frac{π}{3}$对称，C错误；
当x∈[0，$\frac{π}{4}$]时，3x∈[0，$\frac{3π}{4}$]，3x-$\frac{π}{3}$∈[-$\frac{π}{3}$，$\frac{5π}{12}$]，
y=sin（3x-$\frac{π}{3}$）单调递增，∴f（x）在[0，$\frac{π}{4}$]上单调递增，D正确．
故选：D．

点评 本题考查了根据函数f（x）=Asin（ωx+φ）的图象求解析式的应用问题，是综合性题目．