Question

2．命题p：$f（x）=\frac{2}{x-m}$在区间（-7，+∞）是减函数，命题q：不等式${m^2}+5m-3≥\sqrt{{a^2}+8}$对任意的实数a∈[-1，1]恒成立．若（?p）∧q为真命题，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 根据反比例函数的图象和性质，可得当p为真时：m≤-7，根据恒成立转化为最值的原则，可得q为真时：m≤-6或m≥1，进而得到答案．

解答 解：∵命题p：$f（x）=\frac{2}{x-m}$在区间（m，+∞）是减函数，
故当p为真时：m≤-7，
a∈[-1，1]时，$\sqrt{{a}^{2}+8}$∈[2$\sqrt{2}$，3]，
若不等式${m^2}+5m-3≥\sqrt{{a^2}+8}$对任意的实数a∈[-1，1]恒成立．
则m²+5m-3≥3，
解得：m≤-6或m≥1
故当q为真时：m≤-6或m≥1
若（?p）∧q为真命题，则m＞-7，且m≤-6或m≥1
所以实数m的范围是-7＜m≤-6或m≥1

点评 本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了反比例函数的图象和性质，恒成立问题，难度中档．