Question

1．已知函数f（x）为定义在R上的偶函数，当x≥0时，有f（x+1）=-f（x），且当x∈[0，1）时，f（x）=log₂（x+1），给出下列命题：
①直线y=x与函数f（x）的图象有两个交点；
②函数f（x）的值域为（-1，1）；
③函数f（x）在定义域上是周期为2的函数；
④f（2016）+f（-2017）=0．
其中正确的有①②④．

Answer 1

分析 根据“当x≥0时，有f（x+1）=-f（x）”和赋值法，求出当x≥0时f（x）的周期，设x∈[1，2）则x-1∈[0，1），根据条件和恒等式求出f（x）在[1，2）上的解析式，由周期性、偶函数的性质画出函数的图象，根据图象对命题逐一判断即可．

解答 解：∵当x≥0时，有f（x+1）=-f（x），
∴f（x+2）=-f（x+1）=f（x）（x≥0），则当x≥0时，f（x）的周期为T=2．
设x∈[1，2），则x-1∈[0，1），
∵当x∈[0，1）时，f（x）=log₂（x+1），∴f（x-1）=log₂x，
∵当x≥0时，有f（x+1）=-f（x），∴f（x）=-f（x-1）=-log₂x，x∈[1，2），
又f（x）为定义在R上的偶函数，所以函数f（x）的图象如下图所示：

由图可得：
①、直线y=x与函数f（x）的图象有1个交点，故①不正确；
②、函数f（x）的值域为（-1，1），故②正确；
③、函数f（x）在定义域上不是周期函数，故③不正确；
④、f（2016）+f（-2017）=0+0=0，故④正确；
所以正确的命题序号有：①②④
故答案为：①②④．

点评 本题考查了抽象函数的图象与性质，以及偶函数的性质的应用，利用已知的恒等式和赋值法求函数的周期、解析式是解题的关键，考查了数形结合思想和转化思想，分析问题、解决问题的能力．