Question

6．设p：实数a满足不等式3^a≤9，q：函数f（x）=$\frac{1}{3}$x³+$\frac{{3（{3-a}）}}{2}$x²+9x无极值点．
（1）若“p∧q”为假命题，“p∨q”为真命题，求实数a的取值范围；
（2）已知“p∧q”为真命题，并记为r，且t：a²-（2m+$\frac{1}{2}}$）a+m（m+$\frac{1}{2}}$）＞0，若r是￢t的必要不充分条件，求正整数m的值．

Answer 1

分析 分别求出命题p，q为真时，实数a的取值范围；
（1）若“p∧q”为假命题，“p∨q”为真命题，则p与q只有一个命题是真命题，进而得到答案；
（2）求出“p∧q”为真命题，实数a的取值范围，结合r是￢t的必要不充分条件，可得满足条件的正整数m的值．

解答 解：由3^a≤9，得a≤2，即p：a≤2．…（1分）
∵函数f（x）无极值点，∴f'（x）≥0恒成立，得△=9（3-a）²-4×9≤0，解得1≤a≤5，
即q：1≤a≤5．…（3分）
（1）∵“p∧q”为假命题，“p∨q”为真命题，∴p与q只有一个命题是真命题．
若p为真命题，q为假命题，则$\left\{\begin{array}{l}a≤2\\ a＜1或a＞5\end{array}\right.⇒a＜1$．…（5分）
若q为真命题，p为假命题，则$\left\{\begin{array}{l}a＞2\\ 1≤a≤5\end{array}\right.⇒2＜a≤5$．…（6分）
于是，实数a的取值范围为{a|a＜1或2＜a≤5}．…（7分）
（2）∵“p∧q”为真命题，∴$\left\{\begin{array}{l}a≤2\\ 1≤a≤5\end{array}\right.⇒1≤a≤2$．…（8分）
又${a^2}-（{2m+\frac{1}{2}}）a+m（{m+\frac{1}{2}}）＞0$，
∴$（{a-m}）[{a-（{m+\frac{1}{2}}）}]＞0$，
∴a＜m或$a＞m+\frac{1}{2}$，…（10分）
即t：a＜m或$a＞m+\frac{1}{2}$，从而?t：$m≤a≤m+\frac{1}{2}$．
∵r是?t的必要不充分条件，即?t是r的充分不必要条件，
∴$\left\{\begin{array}{l}m≥1\\ m+\frac{1}{2}≤2\end{array}\right.$，解得$1≤m≤\frac{3}{2}$，∵m∈N^*，∴m=1…（12分）

点评 本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了充要条件，函数的极值，指数不等式的解法，二次不等式的解法，复合命题，难度中档．