Question

13．已知角α的正弦值与余弦值均为负值，且cos（75°+α）=$\frac{1}{3}$，则cos（105°-α）+sin（α-105°）=$\frac{2\sqrt{2}-1}{3}$．

Answer 1

分析 由题α的范围，进而可求范围：k360°+255°＜75°+α＜k360°+345°，利用同角三角函数基本关系式可求sin（75°+α）的值，进而利用诱导公式即可化简求值得解．

解答 解：∵角α的正弦值与余弦值均为负值，
∴由题知k360°+180°＜α＜k360°+270°，k∈Z，
故k360°+255°＜75°+α＜k360°+345°，
∵cos（75°+α）=$\frac{1}{3}$，
∴sin（75°+α）=-$\sqrt{1-co{s}^{2}（\frac{5π}{12}+α）}$=-$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，
∴cos（105°-α）+sin（α-105°）=-cos（75°+α）-sin（75°+α）=$\frac{2\sqrt{2}-1}{3}$．
故答案为：$\frac{2\sqrt{2}-1}{3}$．

点评 本题主要考查了同角三角函数基本关系式，诱导公式在三角函数化简求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．