Question

12．（1）已知二次函数y=f（x）满足：f（0）=0且f（x+1）=f（x）+2x+5，求f（x）的解析式；
（2）若f（-2x）+2f（2x）=3x-2，求f（x）的解析式．

Answer 1

分析 （1）利用待定系数法，设出f（x）=ax²+bx+c，根据f（0）=0，f（x+1）=f（x）+2x+5，带入化简，系数相等，求解a，b，c的值．可得f（x）的解析式．
（2）构造方程组法，可得f（x）的解析式．

解答 解：（1）由题意：已知y=f（x）是二次函数，
设f（x）=ax²+bx+c，（a≠0）
∵f（0）=0，
∴c=0．
∴f（x）=ax²+bx
又∵f（x+1）=f（x）+2x+5，
可得：a（x+1）²+b（x+1）=ax²+bx+2x+5，
整理得：2ax+a+b=2x+5
由$\left\{\begin{array}{l}{2a=2}\\{a+b=5}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{b=4}\end{array}\right.$
故得f（x）的解析式为：f（x）=x²+4x．
（2）由题意：f（-2x）+2f（2x）=3x-2，…①
那么可得：f（2x）+2f（-2x）=-3x-2，…②
由①×2-②得：3f（2x）=9x-2
可得：3f（2x）=3x-$\frac{2}{3}$
故得f（x）的解析式为：f（x）=$\frac{3}{2}$x-$\frac{2}{3}$．

点评 本题考查了解析式的求法，利用了待定系数法，构造方程组法．属于中档题．