Question

10．已知数列{a_n}中，a_n+1=$\frac{2{a}_{n}}{2+{a}_{n}}$（n∈N^*），若a₇=$\frac{1}{2}$，则a₅=1．

Answer 1

分析 把已知数列递推式取倒数，可得数列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}是公差为$\frac{1}{2}$的等差数列，然后由等差数列的通项公式结合已知求得a₅．

解答 解：由a_n+1=$\frac{2{a}_{n}}{2+{a}_{n}}$，得$\frac{1}{{a}_{n+1}}=\frac{1}{{a}_{n}}+\frac{1}{2}$，即$\frac{1}{{a}_{n+1}}-\frac{1}{{a}_{n}}=\frac{1}{2}$．
∴数列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}是公差为$\frac{1}{2}$的等差数列，
∴$\frac{1}{{a}_{7}}=\frac{1}{{a}_{5}}+2×\frac{1}{2}$，则2=$\frac{1}{{a}_{5}}+1$，得a₅=1．
故答案为：1．

点评 本题考查数列递推式，考查了等差关系的确定，是中档题．