Question

（文）已知函数f（x）=x³-（2a+2）x²+bx+c，设曲线y=f（x）在与x轴交点处的切线为y=x-1，f′（x）为f（x）的导函数，函数h（x）=f（x）-x+2a+1．
（1）若函数f（x）满足f'（4-x）=f'（x），求实数a，b，c的值；
（2）若函数h（x）在区间（-1，1）单调递减，求实数a的取值范围；
（3）当a＜

1

2

时，函数h（x）在区间（a-1，3-a²）上有最小值，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程,利用导数研究函数的单调性

专题：计算题,导数的综合应用

分析：（1）求出导数，切线的斜率和切点，根据对称，得到a，b，c的方程，解出即可；
（2）函数h（x）在区间（-1，1）单调递减即x∈（-1，1），h′（x）≤0恒成立．则h′（1）≤0且h′（-1）≤0，解出即可；
（3）h（x）=x³-（2a+2）x²+（4a+1）x，求出导数，单调区间和极小值，要使函数h（x）在区间（a-1，3-a²）上有最小值，则2a≤a-1＜1＜3-a²，解出即可．

解答： 解：（1）∵函数f（x）=x³-（2a+2）x²+bx+c，
∴f′（x）=3x²-2（2a+2）x+b，∵切线为y=x-1，∴f（1）=0，f′（1）=1
∴b=4a+2，c=-2a-1，∵f'（4-x）=f'（x），∴y=f′（x）图象关于x=2对称，
∴a=2，b=10，c=-5；
（2）h（x）=f（x）-x+2a+1=x³-（2a+2）x²+（4a+1）x，h′（x）=3x²-2（2a+2）x+4a+1，
即x∈（-1，1），h′（x）≤0恒成立．
则h′（1）≤0且h′（-1）≤0，∴a≤-1；
（3）h（x）=x³-（2a+2）x²+（4a+1）x，h′（x）=3x²-2（2a+2）x+4a+1=（x-1）（3x-（4a+1）），
h′（x）=0，x₁=

4a+1

3

，x₂=1（a＜

1

2

），
h′（x）＞0，x＞1或x＜

4a+1

3

；h′（x）＜0，

4a+1

3

＜x＜1．
∴h′（x）在x=1处取极小值为2a，
h（x）=h（1），即x³-2ax²-2x²+4ax+x-2a=0，即（x-1）²（x-2a）=0，
∴x=1或x=2a，要使函数h（x）在区间（a-1，3-a²）上有最小值，
则2a≤a-1＜1＜3-a²，得-

2

＜a≤-1．

点评：本题考查导数的综合应用：求切线方程和单调区间、极值和最值，考查不等式的恒成立转化为函数的问题，结合函数的性质，考查基本的运算推理能力，属于中档题．