Question

已知圆M的方程为（x-1）²+（y-1）²=4，设P是直线3x+4y+8=0上的动点，PA、PB是圆M的两条切线，A、B为切点，则四边形PAMB面积的最小值为

 

．

Answer 1

考点：直线与圆的位置关系

专题：计算题,直线与圆

分析：四边形PAMB的面积为S=2

|PM|2-4

，因此要求S的最小值，只需求|PM|的最小值即可，即在直线3x+4y+8=0上找一点P，使得|PM|的值最小，利用点到直线的距离公式，即可求得结论．

解答： 解：由题知，四边形PAMB的面积为S=S_△PAM+S_△PBM=

1

2

（|AM||PA|+|BM||PB|）．
又|AM|=|BM|=2，|PA|=|PB|，所以S=2|PA|，
而|PA|²=|PM|²-|AM|²=|PM|²-4，
即S=2

|PM|2-4

．
因此要求S的最小值，只需求|PM|的最小值即可，即在直线3x+4y+8=0上找一点P，使得|PM|的值最小，
所以|PM|_min=

3+4+8

5

=3，所以四边形PAMB面积的最小值为2

5

．
故答案为：2

5

．

点评：本题考查圆的标准方程，考查四边形面积的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．