Question

19．已知A点坐标为$（-2\sqrt{3}，0）$，B点坐标为$（2\sqrt{3}，0）$，且动点M到A点的距离是8，线段MB的垂直平分线l交线段MA于点P．
（Ⅰ）求动点P的轨迹C方程．
（Ⅱ） 已知A（2，-1），过原点且斜率为k（k＞0）的直线l与曲线C交于P，Q两点，求△APQ面积的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）判断P的轨迹是以A，B为焦点的椭圆，求出a，b，即可求解椭圆的方程．
（Ⅱ）设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）将直线l方程y=kx与椭圆方程联立消y得（1+4k²）x²-16=0，利用弦长公式，表示三角形的面积，利用基本不等式求解最值即可．

解答 解：（Ⅰ）∵|PA|+|PB|=|PA|+|PM|=8；又$|AB|=4\sqrt{3}$，
∴P的轨迹是以A，B为焦点的椭圆，（3分）∵$2a=8，2c=4\sqrt{3}$∴b²=4
因此椭圆的方程为：$\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{4}=1$（4分）
（Ⅱ）设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）
将直线l方程y=kx与椭圆方程联立消y得（1+4k²）x²-16=0，
所以${x^2}=\frac{16}{{1+4{k^2}}}$（6分）
∴$|{PQ}|=\sqrt{1+{k^2}}|{{x_1}-{x_2}}|=\sqrt{1+{k^2}}×2×\sqrt{\frac{16}{{1+4{k^2}}}}$（8分）
又∵点A到直线l的距离d=$\frac{{|{2k+1}|}}{{\sqrt{1+{k^2}}}}$（9分）
故△APQ的面积=$\frac{1}{2}|{PQ}|•d=4×\frac{{|{2k+1}|}}{{\sqrt{1+4{k^2}}}}=4×\sqrt{\frac{{4{k^2}+4k+1}}{{1+4{k^2}}}}$
=$4×\sqrt{1+\frac{4k}{{1+4{k^2}}}}=4×\sqrt{1+\frac{4}{{\frac{1}{k}+4k}}}$（11分）
当k＞0时，4k+$\frac{1}{k}$≥4，当且仅当k=$\frac{1}{2}$时取等号．
故△APQ的面积有最大值$4\sqrt{2}$（12分）

点评 本题考查直线与椭圆的位置关系的综合应用，椭圆的方程的求法，考查转化思想以及计算能力．