题目内容
已知函数f（x）满足对任意x，y∈R，都有f（x+y）=f（x）f（y）-f（x）-f（y）+2成立，且x＞0时，f（x）＞2．
（1）求f（0）的值，并证明：当x＜0时，1＜f（x）＜2；
（2）判断f（x）的单调性并加以证明．
（1）求f（0）的值，并证明：当x＜0时，1＜f（x）＜2；
（2）判断f（x）的单调性并加以证明．
考点：抽象函数及其应用,函数单调性的性质
专题：计算题,证明题,函数的性质及应用
分析：（1）令y=0得，f（x）=f（x）f（0）-f（x）-f（0）+2，[f（x）-1][f（0）-2]=0；从而解得f（0）=2；再令x+y=0，y=-x，从而证明x＜0时，1＜f（x）＜2；
2）先判断f（x）是单调增函数，再由定义法证明函数的单调性．
2）先判断f（x）是单调增函数，再由定义法证明函数的单调性．
解答：
解：（1）令y=0得，f（x）=f（x）f（0）-f（x）-f（0）+2，
即[f（x）-1][f（0）-2]=0；
又∵x＞0时，f（x）＞2；
∴f（0）-2=0，即f（0）=2；
∵f（x+y）=f（x）f（y）-f（x）-f（y）+2=[f（x）-1][f（y）-1]+1，
∴f（x+y）-1=[f（x）-1][f（y）-1]，
设x+y=0，y=-x，
f（0）-1=[f（x）-1][f（-x）-1]=1，
又∵x＞0时，f（x）＞2，
∴f（x）-1=
＞1，
即0＜f（-x）-1＜1，故，1＜f（-x）＜2，
故x＜0时，1＜f（x）＜2；
2）f（x）是单调递增函数，证明如下，
任取x1＞x2，x1-x2＞0，f（x1-x2）＞2，f（x2）＞1；
f（x1）-f（x2）=f（x1-x2+x2）-f（x2）
=f（x1-x2）f（x2）-f（x1-x2）-f（x2）+2-f（x2）
=f（x1-x2）[f（x2）-1]-2[f（x2）-1]
=[f（x1-x2）-2][f（x2）-1]＞0
故f（x1）＞f（x2），
则f（x）是单调递增函数．
即[f（x）-1][f（0）-2]=0；
又∵x＞0时，f（x）＞2；
∴f（0）-2=0，即f（0）=2；
∵f（x+y）=f（x）f（y）-f（x）-f（y）+2=[f（x）-1][f（y）-1]+1，
∴f（x+y）-1=[f（x）-1][f（y）-1]，
设x+y=0，y=-x，
f（0）-1=[f（x）-1][f（-x）-1]=1，
又∵x＞0时，f（x）＞2，
∴f（x）-1=
| 1 |
| f(-x)-1 |
即0＜f（-x）-1＜1，故，1＜f（-x）＜2，
故x＜0时，1＜f（x）＜2；
2）f（x）是单调递增函数，证明如下，
任取x1＞x2，x1-x2＞0，f（x1-x2）＞2，f（x2）＞1；
f（x1）-f（x2）=f（x1-x2+x2）-f（x2）
=f（x1-x2）f（x2）-f（x1-x2）-f（x2）+2-f（x2）
=f（x1-x2）[f（x2）-1]-2[f（x2）-1]
=[f（x1-x2）-2][f（x2）-1]＞0
故f（x1）＞f（x2），
则f（x）是单调递增函数．
点评：本题考查了抽象函数的值域的求法及函数的单调性的判断与证明，属于中档题．
练习册系列答案
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在△ABC中，sinAsinB＜cosAcosB，则这个三角形的形状是（ ）
| A、锐角三角形 |
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| D、等腰三角形 |