Question

定义域为R的偶函数f（x）满足对任意x∈R，有f（x+2）=f（x）-f（1），且当x∈[2，3]时，f（x）=-2x²+12x-18，若函数y=f（x）-log_a（|x|+1）在（0，+∞）上至少有三个零点，则a的取值范围是（　　）

• A、（0，

  3

  3

  ）
• B、（

  3

  3

  ，1）
• C、（0，

  5

  5

  ）
• D、（

  5

  5

  ，1）

Answer 1

考点：函数零点的判定定理

专题：计算题,作图题,函数的性质及应用

分析：令x=-1得，f（1）=f（-1）-f（1）可得f（x+2）=f（x）；而函数y=f（x）-log_a（|x|+1）的零点的个数即y=f（x）与y=log_a（|x|+1）的交点的个数；作两个函数的图象求解．

解答： 解：令x=-1得，f（1）=f（-1）-f（1）；
又∵f（x）是偶函数，
∴f（1）=0，
故f（x+2）=f（x）；
又∵当x∈[2，3]时，f（x）=-2x²+12x-18，
函数y=f（x）-log_a（|x|+1）的零点的个数即
y=f（x）与y=log_a（|x|+1）的交点的个数；
作函数y=f（x）与y=log_a（|x|+1）的图象如下，

易知0＜a＜1，
故log_a3＞-2，解得0＜a＜

3

3

；
故选A．

点评：本题考查了函数的零点与函数的图象的交点的应用，属于基础题．