Question

6．定义：记min{x₁，x₂，…，x_n}为x₁，x₂，…，x_n这n个实数中的最小值，记max{x₁，x₂，…，x_n}为x₁，x₂，…，x_n这n个实数中的最大值，例如：min{3，-2，0}=-2．
（1）求证：min{x²+y²，xy}=xy；
（2）已知f（x）=max{|x|，2x+3}（x∈R），求f（x）的最小值；
（3）若H=max{$\frac{1}{{\sqrt{x}}}$，$\frac{x+y}{{\sqrt{xy}}}$，$\frac{1}{{\sqrt{y}}}}$}（x，y∈R⁺），求H的最小值．

Answer 1

分析 （1）分类讨论，利用新定义，即可证明结论；
（2）写出分段函数，即可求f（x）的最小值；
（3）分类讨论，求出H=max{$\frac{1}{{\sqrt{x}}}$，$\frac{x+y}{{\sqrt{xy}}}$，$\frac{1}{{\sqrt{y}}}}$}（x，y∈R⁺），即可求H的最小值．

解答 （1）证明：当xy≤0时，x²+y²≥xy，则min{x²+y²，xy}=xy，
当xy＞0时，由x²+y²≥2|xy|＞xy，则min{x²+y²，xy}=xy，
综上所述min{x²+y²，xy}=xy；
（2）解：f（x）=max{|x|，2x+3}=$\left\{\begin{array}{l}{|x|，x＜-1}\\{2x+3，x≥-1}\end{array}\right.$，
∴当x=-1时，f（x）的有最小值，即为1；
（3）解：x=y=$\frac{1}{4}$时，H=max{$\frac{1}{{\sqrt{x}}}$，$\frac{x+y}{{\sqrt{xy}}}$，$\frac{1}{{\sqrt{y}}}}$}={2}，H的最小值为2．
不失一般性，设x＞y＞0，当x＞y＞$\frac{1}{4}$时，
∵x，y∈R⁺，
∴$\frac{x+y}{\sqrt{xy}}$≥$\frac{2\sqrt{xy}}{\sqrt{xy}}$=2，当且仅当x=y时取等号，
∵2＞$\frac{1}{\sqrt{y}}$＞$\frac{1}{\sqrt{x}}$，
∴H=max{$\frac{1}{{\sqrt{x}}}$，$\frac{x+y}{{\sqrt{xy}}}$，$\frac{1}{{\sqrt{y}}}}$}={2}，H的最小值为2．
当x＞$\frac{1}{4}$＞y时，H=max{$\frac{1}{{\sqrt{x}}}$，$\frac{x+y}{{\sqrt{xy}}}$，$\frac{1}{{\sqrt{y}}}}$}={$\frac{x+y}{{\sqrt{xy}}}$}，H的最小值不存在．
当$\frac{1}{4}$＞x＞y时，H=max{$\frac{1}{{\sqrt{x}}}$，$\frac{x+y}{{\sqrt{xy}}}$，$\frac{1}{{\sqrt{y}}}}$}={$\frac{1}{{\sqrt{y}}}}$}，H的最小值不存在．
综上所述，x=y=$\frac{1}{4}$时，H的最小值为2．

点评 本题考查新定义，考查分类讨论的数学思想，考查学生分析解决问题的能力，正确理解新定义是关键．