Question

18．下列四个命题中，正确的是②③④（写出所有正确命题的序号）
①函数f（x）的定义域为[0，2]，则函数f（2x）的定义域为[0，4]；
②设集合A={-1，0，1}，B={-1，1}，则在A到B的所有映射中，偶函数共有4个；
③不存在实数a，使函数$f（x）={π^{a{x^2}+2ax+3}}$的值域为（0，1]
④函数$f（x）={log_{\frac{1}{2}}}（{x^2}-ax+3a）$在[2，+∞）上是减函数，则-4＜a≤4．

Answer 1

分析 ①，函数f（x）的定义域为[0，2]，0≤2x≤2，则函数f（2x）的定义域为[0，1]；
②，依题意可知依题意可知f（-1）=f（1），进而分值域中有1、2个元素进行讨论．当值域中只有一个元素时，此时满足题意的映射有2种，当值域中有两个元素时，此时满足题意的映射有2个；
③，若存在实数a，使函数$f（x）={π^{a{x^2}+2ax+3}}$的值域为（0，1]时，ax²+2ax+3的值域为（-∞，0]，即$\left\{\begin{array}{l}{a＜0}\\{4{a}^{2}-12a=0}\end{array}\right.$，a∈∅；
④，令t=x²-ax+3a，则由函数f（x）=g（t）=log$\frac{1}{2}$t 在区间[2，+∞）上为减函数，可得函数t在区间[2，+∞）上为增函数且t（2）＞0，解得a．

解答 解：对于①，函数f（x）的定义域为[0，2]，0≤2x≤2，则函数f（2x）的定义域为[0，1]，故错；
对于②，依题意可知f（-1）=f（1），进而分值域中有1、2个元素进行讨论．当值域中只有一个元素时，此时满足题意的映射有2种，当值域中有两个元素时，此时满足题意的映射有2个，共有4个，故正确；
对于③，若存在实数a，使函数$f（x）={π^{a{x^2}+2ax+3}}$的值域为（0，1]时，ax²+2ax+3的值域为（-∞，0]，即$\left\{\begin{array}{l}{a＜0}\\{4{a}^{2}-12a=0}\end{array}\right.$，a∈∅，故正确；
对于④，函数$f（x）={log_{\frac{1}{2}}}（{x^2}-ax+3a）$在[2，+∞）上是减函数，则令t=x²-ax+3a，则由函数f（x）=g（t）=$lo{g}_{\frac{1}{2}}t$ 在区间[2，+∞）上为减函数，
可得函数t在区间[2，+∞）上为增函数且t（2）＞0，解得-4＜a≤4，故正确．
故答案为：②③④

点评 本题考查了命题真假的判定，涉及到函数的概念及性质，属于中档题．