Question

（本题满分18分，其中第1小题6分，第2小题4分，第3小题8分）
定义变换：可把平面直角坐标系上的点变换到这一平面上的点.特别地，若曲线上一点经变换公式变换后得到的点与点重合，则称点是曲线在变换下的不动点.
（1）若椭圆的中心为坐标原点，焦点在轴上，且焦距为，长轴顶点和短轴顶点间的距离为2. 求该椭圆的标准方程. 并求出当时，其两个焦点、经变换公式变换后得到的点和的坐标；
（2）当时，求（1）中的椭圆在变换下的所有不动点的坐标；
（3）试探究：中心为坐标原点、对称轴为坐标轴的双曲线在变换
：（，）下的不动点的存在情况和个数.

Answer 1

（1）（2）（3）两个

（1）设椭圆的标准方程为（），由椭圆定义知焦距，即…①. 又由条件得…②，故由①、②可解得，. 即椭圆的标准方程为. 且椭圆两个焦点的坐标分别为和. 对于变换：，当时，可得 设和分别是由和的坐标由变换公式变换得到.于是，，即的坐标为； 又即的坐标为. （2）设是椭圆在变换下的不动点，则当时， 有，由点，即，得： ，因而椭圆的不动点共有两个，分别为和. (3) 设是双曲线在变换下的不动点，则由 因为，，故. 不妨设双曲线方程为（），由代入得 则有, 因为，故当时，方程无解； 当时，要使不动点存在，则需， 因为，故当时，双曲线在变换下一定有2个不动点，否则不存在不动点. 进一步分类可知： （i）当，时，即双曲线的焦点在轴上时， ； 此时双曲线在变换下一定有2个不动点； （ii）当，时，即双曲线的焦点在轴上时， .

此时双曲线在变换下一定有2个不动点.