题目内容
(本题满分12分)如图,过椭圆的左焦点作x轴的垂线交椭圆于点P,点A和点B分别为椭圆的右顶点和上顶点,OP∥AB.
(1)求椭圆的离心率e(2)过右焦点作一条弦QR,使QR⊥AB.若△的面积为,求椭圆的方程.
(1)求椭圆的离心率e(2)过右焦点作一条弦QR,使QR⊥AB.若△的面积为,求椭圆的方程.
(Ⅰ) (Ⅱ)
(1)∵,∴.
∵OP∥AB,∴,∴,
解得:b=c.∴,故 (4分)
(2)由(1)知椭圆方程可化简为.①
易求直线QR的斜率为,故可设直线QR的方程为:.②
由①②消去y得:.∴,. (8分)
于是△的面积S=
=,∴.
因此椭圆的方程为,即. (12分)
∵OP∥AB,∴,∴,
解得:b=c.∴,故 (4分)
(2)由(1)知椭圆方程可化简为.①
易求直线QR的斜率为,故可设直线QR的方程为:.②
由①②消去y得:.∴,. (8分)
于是△的面积S=
=,∴.
因此椭圆的方程为,即. (12分)
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