题目内容
已知中心在原点，焦点在
轴上的椭圆C的离心率为
，且经过点
，过点P（2，1）的直线
与椭圆C在第一象限相切于点M ．
（1）求椭圆C的方程；
（2）求直线的方程以及点M的坐标；
（3）是否存过点P的直线
与椭圆C相交于不同的两点A、B，满足
？若存在，求出直线l1的方程；若不存在，请说明理由．
轴上的椭圆C的离心率为，且经过点，过点P（2，1）的直线与椭圆C在第一象限相切于点M ．（1）求椭圆C的方程；
（2）求直线
的方程以及点M的坐标；（3）是否存过点P的直线
与椭圆C相交于不同的两点A、B，满足？若存在，求出直线l1的方程；若不存在，请说明理由．
，
，
解（Ⅰ）设椭圆C的方程为
，由题意得
解得
，故椭圆C的方程为．……………………4分
（Ⅱ）因为过点P（2，1）的直线l与椭圆在第一象限相切，所以l的斜率存在，故可调直线l的议程为
由
得
．①
因为直线与椭圆相切，所以
整理，得
解得
所以直线l方程为
将
代入①式，可以解得M点横坐标为1，故切点M坐标为……8分
（Ⅲ）若存在直线l1满足条件，的方程为
，代入椭圆C的方程得
因为直线l1与椭圆C相交于不同的两点A，B，设A，B两点的坐标分别为
所以
所以
．
又
，
因为即
，
所以
．
即
所以
，解得
因为A，B为不同的两点，所以
．
于是存在直线1满足条件，其方程为………………………………12分
，由题意得解得
，故椭圆C的方程为．……………………4分（Ⅱ）因为过点P（2，1）的直线l与椭圆在第一象限相切，所以l的斜率存在，故可调直线l的议程为
由
得．①因为直线
与椭圆相切，所以整理，得
解得所以直线l方程为
将
代入①式，可以解得M点横坐标为1，故切点M坐标为……8分（Ⅲ）若存在直线l1满足条件，的方程为
，代入椭圆C的方程得因为直线l1与椭圆C相交于不同的两点A，B，设A，B两点的坐标分别为
所以
所以
．又
，因为
即，所以
．即
所以
，解得 因为A，B为不同的两点，所以．于是存在直线
1满足条件，其方程为………………………………12分
练习册系列答案
相关题目
的两个焦点是
，且椭圆上存在点M，使
与椭圆存在一个公共点E，使得|EF
|+|EF
|取得最小值，求此最小值及此时椭圆的方程；
的直线
,与椭圆交于不同的两A，B，满足
，且使得过点
两点的直线NQ满足
=0？若存在，求出k的取值范围；若不存在，说明理由
分别是椭圆
的左、右焦点，过
斜率为1的直线
与
相交于
两点，且
成等差数列。
满足
，求
是椭圆
的两个焦点，
为坐标原点，点
在椭圆上，且
，⊙
为直径的圆，直线
：
与⊙
，且满足
时，求弦长
的取值范围.
：
可把平面直角坐标系上的点
变换到这一平面上的点
.特别地，若曲线
上一点
经变换公式
与点
的中心为坐标原点，焦点在
轴上，且焦距为
，长轴顶点和短轴顶点间的距离为2. 求该椭圆
时，其两个焦点
、
经变换公式
和
的坐标；
，
）下的不动点的存在情况和个数.
为椭圆
上任一点，当
的距离的最小时，点
合成的曲线称作“果圆”（其中
）。如图，设点
是相应椭圆的焦点，A1、A2和B1、B2是“果圆”与x，y轴的交点，若△F0F1F2是边长为1的等边三角形，则a，b的值分别为 （ ）
上，若F（3，0），
，且M为PF中点，则
=_____．