题目内容
9．
某校高三学生有两部分组成，应届生与复读生共2000学生，期末考试数学成绩换算为100分的成绩如图所示，从高三的学生中，利用分层抽样，抽取100名学生的成绩绘制成频率分布直方图：（1）若抽取的学生中，应届生与复读生的比为9﹕1，确定高三应届生与复读生的人数；
（2）计算此次数学成绩的平均分；
（3）若抽取的[80，90），[90，100]的学生中，应届生与复读生的比例关系也是9﹕1，从抽取的[80，90），[90，100]两段的复读生中，选两人进行座谈，设抽取的[80，90）的人数为随机变量ξ，求ξ的分布列与期望值．
分析 （1）因为抽取的应届生与复读生的比为9﹕1，求出应届生抽取90人，复读生抽取10人，由此能确定确定高三应届生与复读生的人数．
（2）由频率分布图中小矩形面积之和为1，得a=0.04，由此能求出此次数学成绩的平均分．
（3）根据频率分布直方图可知抽取的复读生的人数分别为2，3人抽取的[80，90）的人数为随机变量ξ，可知ξ=0，1，2，分别求出相应的概率，由此能求出ξ的分布列与期望值．
解答 解：（1）∵抽取的应届生与复读生的比为9﹕1，
∴应届生抽取90人，复读生抽取10人，
应届生的人数为90×20=1800，复读生的人数为2000-1800=200．
（2）10×（0.01+a+0.02+0.03）=1，∴a=0.04，
平均分为10×（0.01×65+0.04×75+0.02×85+0.03×95）=82
（3）根据频率分布直方图可知，抽取的[80，90），[90，100]的学生分别为100×0.2=20，100×0.3=30，
抽取的复读生的人数分别为2，3人
抽取的[80，90）的人数为随机变量ξ，可知ξ=0，1，2，
可知$p（ξ=0）=\frac{C_3^2}{C_5^2}=\frac{3}{10}$，
$p（ξ=1）=\frac{C_2^1C_3^1}{C_5^2}=\frac{3}{5}$，
$p（ξ=2）=\frac{C_2^2}{C_5^2}=\frac{1}{10}$，
∴ξ的分布列为：
| ξ | 0 | 1 | 2 |
| p | $\frac{3}{10}$ | $\frac{3}{5}$ | $\frac{1}{10}$ |
点评 本题考查频率分布直方图的应用，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意排列组合知识的合理运用．
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