Question

已知：直三棱柱ABC-DEF中，AB=

2

，BC=1，BE=2，AB⊥平面BCFE，M是CF的中点．
（1）证明：AM⊥ME．
（2）求二面角A-ME-B的大小．

Answer 1

考点：用空间向量求平面间的夹角,直线与平面垂直的性质

专题：空间角

分析：（1）建立空间直角坐标系，利用向量法即可证明AM⊥ME．
（2）求出平面的法向量，利用向量法即可求二面角A-ME-B的大小．

解答： 解：（1）∵AB⊥平面BCFE，
∴以B为坐标原点，建立空间直角坐标系如图，
∵AB=

2

，BC=1，BE=2，M是CF的中点，
∴A（0，0，

2

），C（1，0，0），E（0，2，0），F（1，2，0），M（1，1，0），
D（0，2，

2

），
则

AM

=（1，1，-

2

），

ME

=（-1，1，0），
则

AM

•

ME

=-1+1=0，
即

AM

⊥

ME

，即AM⊥ME．
（2）平面MEB的法向量为

m

=(0，0，1)，
设平面AME的法向量为

n

=（x，y，z），
∵

AM

=（1，1，-

2

），

ME

=（-1，1，0），
∴

AM • n =x+y- 2 z=0 ME • n =-x+y=0

，
令x=1，则y=1，z=

2

，即

n

=（1，1，

2

），
则cos＜

m

，

n

＞=

m • n

| m |•| n |

=

2

1•2

=

2

2

，
则＜

m

，

n

＞=45°．

点评：本题主要考查空间直线垂直的判定以及二面角大小的求解，建立空间坐标系利用向量法是解决本题的关键．