Question

已知圆（x-1）²+（y-1）²=1和点A（2a，0），B（0，2b）且a＞1，b＞1．
（1）若圆与直线AB相切，求a和b之间的关系式；
（2）若圆与直线AB相切且△AOB面积最小，求直线AB的方程．（O为坐标原点）

Answer 1

分析：（1）由题意，先由截距式得出直线AB的方程，再由点到直线的距离公式得出圆心到直线AB的距离，令其等于半径r，即可得到a和b之间的关系式；
（2）先用a，b表示出△AOB面积，再结合（1）的结论，利用基本不等式得到关于ab的不等式解出ab的最小值，从而求得a，b的值，得出直线AB的方程

解答：解：（1）由题意得，点A（2a，0），B（0，2b）且a＞1，b＞1可得直线AB的方程为

x

2a

+

y

2b

=1，即bx+ay=2ab．
因为直线AB与圆（x-1）²+（y-1）²=1相切，故圆以（1，1）到直线AB的距离为1，即

|b+a-2ab|

a2+b2

=1
整理得2ab=2a+2b-1
（2）S_AOB=

1

2

×2a×2b=2ab
由（1）知2ab=2a+2b-1
≥4

ab

-1，等号当且仅当a=b时成立，
解不等式2ab≥4

ab

-1得，

ab

≥

2+ 2

2

，即ab≥

3

2

+

2

所以S_AOB≥3+2

2

，当且仅当a=b=

2+ 2

2

时取等号
此时直线AB的方程为x+y-（2+

2

）=0

点评：本题考查了基本不等式及直线与圆的位置关系，点到直线的距离公式，有一定的综合性，考查了转化化归的思想及方程的思想，利用基本不等式等号成立的条件得出参数a，b的值是解题的关键