Question

已知函数g（x）满足g（x）=x-

4

x

，
（1）判断函数g（x）的奇偶性；
（2）求g（x）在区间[1，8]上的值域．

Answer 1

考点：函数奇偶性的判断,函数的值域

专题：函数的性质及应用

分析：（1）求出函数的定义域，然后直接利用函数奇偶性的定义判断；
（2）利用函数单调性的证明方法得到g（x）在区间[1，8]上是增函数，由单调性求得最值后得答案．

解答： 解：（1）由题意知：g（x）=x-

4

x

的定义域为{x|x≠0}，关于原点对称，
又g(-x)=-x-

4

-x

=-(x-

4

x

)=-g(x)，
∴函数g（x）为奇函数；
（2）证明：设1≤x₁＜x₂≤8，
则：g(x1)-g(x2)=(x1-

4

x1

)-(x2-

4

x2

)
=(x1-x2)+

4(x1-x2)

x1x2

=(x1-x2)(1+

4

x1x2

)
∵1≤x₁＜x₂≤8，
∴x1-x2＜0，1+

4

x1x2

＞0．
∴g（x₁）-g（x₂）＜0．
即g（x₁）＜g（x₂）．
∴g（x）在区间[1，8]上是增函数．
∴g（x）_min=g（1）=-3，g(x)max=g(8)=

15

2

，
∴求g（x）在区间[1，8]上的值域为[-3，

15

2

]．

点评：本题考查了函数奇偶性和单调性的判断方法，考查了函数值域的求法，是基础题．