Question

已知函数f（x）=

x2+x+a

x

，x∈[1，+∞），若对任意x∈[1，+∞），f（x）＞0恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：函数恒成立问题

专题：转化思想,函数的性质及应用

分析：可将条件转化为：对任意x∈[1，+∞），x²+x+a＞0恒成立，构造二次函数，注意对称轴与区间的关系，运用函数的单调性求出最小值，即可得到实数a的取值范围．

解答： 解：函数f（x）=

x2+x+a

x

，且对任意x∈[1，+∞），f（x）＞0恒成立，
即对任意x∈[1，+∞），x²+x+a＞0恒成立，
令g（x）=x²+x+a，x∈[1，+∞），
则对任意x∈[1，+∞），g（x）_min＞0，
∵g（x）图象的对称轴为x=-

1

2

，
∴[1，+∞）为增区间，
∴g（1）为最小值且为2+a，
∴2+a＞0即a＞-2．
∴实数a的取值范围为：（-2，+∞）．

点评：本题考查函数恒成立问题可通过转化为求函数的最值来解决，可通过函数的单调性求出最值，注意掌握这种方法．