Question

20．定义：如果函数y=f（x）在定义域内给定区间[a，b]上存在x₀（a＜x₀＜b），满足f（x₀）=$\frac{f（b）-f（a）}{b-a}$，则称函数y=f（x）是[a，b]上的“平均值函数”，x₀是它的一个均值点，例如y=|x|是[-2，2]上的平均值函数，0就是它的均值点，若函数f（x）=x²-mx-1是[-1，1]上的“平均值函数”，则实数m的取值范围是（　　）

• A． [-1，1]
• B． （0，2）
• C． [-2，2]
• D． （0，1）

Answer 1

分析 由已知得关于x的方程x²-mx-1=$\frac{f（1）-f（-1）}{1-（-1）}$在（-1，1）内有实数根．从而x²-mx+m-1=0，进而x=m-1为均值点，由此能求出实数m的取值范围．

解答 解：∵函数f（x）=-x²+mx-1是区间[-1，1]上的平均值函数，
∴关于x的方程x²-mx-1=$\frac{f（1）-f（-1）}{1-（-1）}$在（-1，1）内有实数根．
由x²-mx-1=$\frac{f（1）-f（-1）}{1-（-1）}$，得x²-mx+m-1=0，解得x=m-1，x=1．
又1∉（-1，1）
∴x=m-1必为均值点，即-1＜m-1＜1，∴0＜m＜2．
∴所求实数m的取值范围是0＜m＜2．
故选：B．

点评 本题考查实数取值范围的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意“平均值函数”的性质的合理运用．