Question

6．设函数f（x）对任意实数x，y∈R，都有f（x+y）=f（x）+f（y），且x＞0时f（x）＜0，f（1）=-2，试问在-3≤x≤3时，f（x）是否有最值？若有，求出其最值，若没有，说明理由．

Answer 1

分析 利用赋值法求f（0）的值结合定义证明函数的奇偶性以及函数的单调性即可得到结论．

解答 解：令x=y=0则f（0）=2f（0），∴f（0）=0
对任意x∈R，取y=-x则f[x+（-x）]=f（x）+f（-x）=f（0）=0，
即f（-x）=-f（x），
∴f（x）是R上的奇函数，
任意取x₁，x₂∈R，x₁＜x₂，则x₂=x₁+△x（其中△x＞0），
则f（△x）＜0，
∴f（x₂）=f（x₁+△x）=f（x₁）+f（△x），
∴f（x₂）-f（x₁）=f（△x）＜0，
即f（x₂）＜f（x₁），
∴f（x）是R上的减函数，
即f（x）在-3≤x≤3上存在最值，最大值为f（-3）=-f（3），最小值为f（3）．
∵f（1）=-2，
∴f（1）+f（1）=f（2）=-4，
即f（3）=f（1+2）=f（1）+f（2）=-2-4=-6，
即最大值f（-3）=-f（3）=6，最小值为f（3）=-6．

点评 本题主要考查抽象函数的应用．利用赋值法，结合函数奇偶性和单调性的性质先判断函数的奇偶性和单调性是解决本题的关键．