Question

1．已知A，B，C为△ABC的三个内角，求解是否存在这样的A，B，C（A≠B≠C）使得cosA+cosB=cosC．

Answer 1

分析 首先，根据和差化积公式，化简等式的左边，然后，根据三角形内角和定理，适当的变形，得到相应的结论．

解答 解：存在．理由如下：
根据积化和差公式，
cosα+cosβ=2cos$\frac{α+β}{2}$•cos$\frac{α-β}{2}$，
得cosA+cosB=2cos$\frac{A+B}{2}$•cos$\frac{A-B}{2}$，
又A+B+C=π，代入到cosA+cosB=cosC中，
变形得：2cos$\frac{π-C}{2}$•cos$\frac{A-B}{2}$=cosC，
进一步变形：2sin$\frac{C}{2}$•cos$\frac{A-B}{2}$=1-2sin²$\frac{C}{2}$•
令 sin$\frac{C}{2}$=m，cos$\frac{A-B}{2}$=n，则0＜m＜1，0＜n≤1．
则有：2m²+2mn-1=0，
∴n=$\frac{1-2{m}^{2}}{2m}$，
∵0＜n≤1，
∴0＜$\frac{1-2{m}^{2}}{2m}$≤1，
∴$\frac{\sqrt{3}-1}{2}≤m＜\frac{\sqrt{2}}{2}$，
由y=sinx的单调性知：
$\frac{π}{6}＜\frac{C}{2}＜\frac{π}{4}$，
∴$\frac{π}{3}＜C＜\frac{π}{2}$，
推出$\frac{π}{3}＜$π-（A+B）＜$\frac{π}{2}$，
∴$\frac{π}{2}＜A+B＜\frac{2π}{3}$．
故存在这样的A，B，C（A≠B≠C）使得cosA+cosB=cosC．

点评 本题重点考查了和差化积公式、三角函数的单调性、内角和定理等知识，属于中档题．