Question

在直角坐标系中，射线OA：x-y=0（x≥0），OB：x+2y=0（x≥0），过点P（1，0）作直线分别交射线OA、OB于A、B两点．
（1）当AB中点为P时，求直线AB的方程；
（2）当AB中点在直线y=

1

2

x上时，求直线AB的方程．

Answer 1

考点：直线的一般式方程

专题：直线与圆

分析：（1）设A（a，a），B（-2b，b），又P（1，0）是AB的中点．利用中点坐标公式可得

a-2b 2 =1 a+b 2 =0

，解出a，b，再利用点斜式即可得出．
（2）对AB的斜率分类讨论，利用中点坐标公式、点斜式即可得出．

解答： 解：（1）设A（a，a），B（-2b，b），又P（1，0）是AB的中点．
∴

a-2b 2 =1 a+b 2 =0

，

a= 2 3 b=- 2 3

．
∴A(

2

3

，

2

3

)，B(

4

3

，-

2

3

)，
∴k_AB=

- 2 3 - 2 3

4 3 - 2 3

=-2，
∴直线AB的方程为y═-0-2（x-1），化为2x+y-2=0．
（2）①当直线AB的斜率不存在时，则AB的方程为x=1，
易知A，B两点的坐标分别为A(1，1)，B(1，-

1

2

)，
∴AB的中点坐标为(1，

1

4

)，显然不在直线y=

1

2

x上，
即AB的斜率不存在时不满足条件．
②当直线AB的斜率存在时，记为k，易知k≠0且k≠1，则直线AB的方程为y=k（x-1）．
分别联立

y=k(x-1) x-y=0

及

y=k(x-1) x+2y=0.

可求得A，B两点的坐标分别为A(

k

k-1

，

k

k-1

)，B(

2k

1+2k

，-

k

1+2k

)
∴AB的中点坐标为(

k

2k-2

+

k

1+2k

，

k

2k-2

-

k

2+4k

)．
又AB的中点在直线y=

1

2

x上，
∴以

k

2k-2

-

k

2+4k

=

1

2

(

k

2k-2

+

k

1+2k

)，解得k=

5

2

．
∴直线AB的方程为y=

5

2

(x-1)，即5x-2y-5=0．

点评：本题考查了分类讨论、中点坐标公式、点斜式，考查了计算能力，属于基础题．