Question

若M（2，1），点C是椭圆

x2

16

+

y2

7

=1的右焦点，点A是椭圆的动点，则|AM|+|AC|的最小值是

 

．

Answer 1

考点：椭圆的简单性质

专题：计算题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：设椭圆的左焦点为F，连接MF、AF，根据椭圆的定义得|AM|+|AC|=|AM|+（8-|AF|）=8+（|AM|-|AF|）
当M、A、F三点共线，且A在FM延长线上时，|AM|-|AF|取得最小值．利用两点之间距离公式，则不难求出这个最小值．

解答： 解：设椭圆的左焦点为F（-3，0），连接MF、AF，
∵点A在椭圆

x2

16

+

y2

7

=1上运动，
∴|AC|+|AF|=2a=8，
由此可得|AM|+|AC|=|AM|+（8-|AF|）=8+（|AM|-|AF|）
当M、A、F三点共线，且A在FM延长线上时，|AM|-|AF|取得最小值．
∴|AM|-|AF|的最小值为：-|MF|=-

(2+3)2+(1-0)2

=-

26

．
由此可得|AM|+|AC|的最小值为8-

26

．
故答案为：8-

26

．

点评：本题给出椭圆内部一点和椭圆上动点，求距离之和的最小值，着重考查了椭圆的标准方程和简单几何性质等知识，属于中档题．