题目内容
证明：不等式x2+px+q≤0的解集中只有一个元素的充要条件是p2=4q．
考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断
专题：简易逻辑
分析：利用二次函数的图象和性质，先证明充分性，再证明必要性，最后综合证明过程，可得答案．
解答：
证明：充分性
若不等式x2+px+q≤0的解集中只有一个元素，
则函数y=x2+px+q的图象开口朝上，且与x轴只有一个交点，
故△=p2-4q=0，
即p2=4q，
必要性
若p2=4q，
则数y=x2+px+q的△=p2-4q=0，
则函数y=x2+px+q的图象开口朝上，且与x轴只有一个交点，
则不等式x2+px+q≤0的解集中只有一个元素，
综上所述，不等式x2+px+q≤0的解集中只有一个元素的充要条件是p2=4q．
若不等式x2+px+q≤0的解集中只有一个元素，
则函数y=x2+px+q的图象开口朝上，且与x轴只有一个交点，
故△=p2-4q=0，
即p2=4q，
必要性
若p2=4q，
则数y=x2+px+q的△=p2-4q=0，
则函数y=x2+px+q的图象开口朝上，且与x轴只有一个交点，
则不等式x2+px+q≤0的解集中只有一个元素，
综上所述，不等式x2+px+q≤0的解集中只有一个元素的充要条件是p2=4q．
点评：本题考查了一元二次方程根的判别式的应用以及充要条件的证明，本题解题的关键是熟练掌握二次函数的图象和性质，属于基础题．
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