Question

已知圆O：x²+y²=r²（r＞0）与直线x-y+2

2

=0相切．
（1）求圆O的方程；
（2）过点（1，

3

3

）的直线l截圆所得弦长为2

3

，求直线l的方程．

Answer 1

考点：直线与圆的位置关系

专题：直线与圆

分析：（1）利用圆心到直线的距离等于半径，求出r，即可求圆O的方程；
（2）设出过点（1，

3

3

）的直线l的方程，利用直线截圆所得弦长为2

3

，通过圆心距半径半弦长满足勾股定理，求的k，即可得到直线l的方程．

解答： 解：（1）由题意可知：d=

2 2

12+(-1)2

=2=r，
∴圆O：x²+y²=4．…（4分）
（2）若直线l的斜率不存在，直线l为x=1，此时直线l截圆所得弦长为2

3

，符合题意．…（7分）
若直线l的斜率存在，设直线为y-

3

3

=k(x-1)，即3kx-3y+

3

-3k=0，
由题意知，圆心到直线的距离为d=

| 3 -3k|

9k2+9

=1，所以k=-

3

3

，
则直线l为x+

3

y-2=0．…（11分）
因此，所求的直线为x=1或x+

3

y-2=0．…（12分）

点评：本题考查直线与圆的位置关系，圆的切线方程的求法，勾股定理的应用，考查转化思想以及计算能力，注意切线方程斜率是否存在，是易错点．