Question

（本小题满分13分）双曲线的中心是原点O，它的虚轴长为，相应于焦点F（c,0）（c＞0）的准线与x轴交于点A，且|OF|=3|OA|,过点F的直线与双曲线交于P、Q两点.
（1）求双曲线的方程；
（2）若=0，求直线PQ的方程.

Answer 1

= 1
x - -3 = 0或x +-3 = 0

解．（1）由题意，设曲线的方程为= 1（a＞0,b＞0）
由已知 解得a = ，c = 3所以双曲线的方程为= 1…(6分)
（2）由（1）知A（1，0），F（3，0），
当直线PQ与x轴垂直时，PQ方程为x =" 3" .此时,≠0,应舍去.
当直线PQ与x轴不垂直时,设直线PQ的方程为y ="k" ( x – 3 ).
由方程组 得
由于过点F的直线与双曲线交于P、Ｑ两点，则－２≠０，即k≠，
　　由于△＝36-4(-2)(9+6)=48(+1)＞0即k∈R.
∴k∈R且k≠（*）　………………………(８分)
设Ｐ（，），Ｑ（，），则

由直线PQ的方程得= k（-3），= k（-3）
于是=（-3）（-3）=[-3（+）+ 9] （3）
∵ = 0，∴（-1，）·（-1，）= 0
即-（+）+ 1 + =" 0    " （4）
由（1）、（2）、（3）、（4）得
= 0
整理得=，∴k = 满足（*）
∴直线PQ的方程为x - -3 = 0或x +-3 = 0………(13分)