Question

（13分）已知圆和直线．
⑴ 证明：不论取何值，直线和圆总相交；
⑵ 当取何值时，圆被直线截得的弦长最短？并求最短的弦的长度．

Answer 1

24．⑴. 【证明】
方法一：圆的方程可化为：，圆心为，半径.
直线的方程可化为：，直线过定点，斜率为.
定点到圆心的距离，
∴定点在圆内部，∴不论取何值，直线和圆总相交.
方法二：圆的方程可化为：，圆心为，半径.
圆心到直线的距离，
，因，，，
故，∴不论取何值，直线和圆总相交.
⑵. 圆心到直线的距离
被直线截得的弦长＝，
当时，弦长；
当时，弦长，下面考虑先求函数的值域.
由函数知识可以证明：函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递减，在上单调递增（证明略），
故当时，函数在处取得最大值－2；当时，函数在处取得最小值2.
即或，
故或，可得
或，即且，
且，
且.
综上，当时，弦长取得最小值；当时，弦长取得最大值4.

略