Question

6．过点M（3，2）作椭圆$\frac{（x-2）^{2}}{25}$+$\frac{（y-1）^{2}}{16}$=1的弦．
（1）求以M为中心的弦所在直线的方程；
（2）如果弦的倾斜角不大于90°，且M到此弦的中心距离为1，求此弦所在直线的方程．

Answer 1

分析 （1）设直线与椭圆相交于两点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．利用中点坐标公式可得：$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$=3，$\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{2}$=2，利用斜率可得$\frac{{y}_{2}-{y}_{1}}{{x}_{2}-{x}_{1}}$=k，由于$\frac{（{x}_{1}-2）^{2}}{25}+\frac{（{y}_{1}-1）^{2}}{16}$=1，$\frac{（{x}_{2}-1）^{2}}{25}+\frac{（{y}_{2}-1）^{2}}{16}$=1，两式相减可得k，即可得出．
（2）解法一：当k存在时，由（1）可得：$\frac{2{x}_{0}-4}{25}$+$\frac{2{y}_{0}-2}{16}k$=0，又$k=\frac{{y}_{0}-2}{{x}_{0}-3}$≥0，可得16（x₀-2）（x₀-3）+25（y₀-1）（y₀-2）=0，又$\sqrt{（{x}_{0}-3）^{2}+（{y}_{0}-2）^{2}}$=1，化为$（{x}_{0}-3）^{2}+（{y}_{0}-2）^{2}$=1，联立解出即可得出；
解法二：设过点M（3，2）的直线的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=3+tcosα}\\{y=2+tsinα}\end{array}\right.$（t为参数），α为直线的倾斜角．代入椭圆方程可得关于t的一元二次方程，由于M到此弦的中心距离为1，可得$|\frac{{t}_{1}+{t}_{2}}{2}|$=$\frac{16cosα+25sinα}{16co{s}^{2}α+25si{n}^{2}α}$=1，0°≤α≤90°．利用cosα≥cos²α，sinα≥sin²α，等号成立的充要条件是：cosα=cos²α，sinα=sin²α，即可得出．

解答 解：（1）设直线与椭圆相交于两点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
则$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$=3，$\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{2}$=2，$\frac{{y}_{2}-{y}_{1}}{{x}_{2}-{x}_{1}}$=k，
∵$\frac{（{x}_{1}-2）^{2}}{25}+\frac{（{y}_{1}-1）^{2}}{16}$=1，$\frac{（{x}_{2}-2）^{2}}{25}+\frac{（{y}_{2}-1）^{2}}{16}=1$，
两式相减可得：$\frac{（{x}_{1}+{x}_{2}-4）（{x}_{1}-{x}_{2}）}{25}$+$\frac{（{y}_{1}+{y}_{2}-2）（{y}_{1}-{y}_{2}）}{16}=0$，
∴$\frac{2}{25}+\frac{2k}{16}$=0，解得k=-$\frac{16}{25}$．
∴以M为中心的弦所在直线的方程为y-2=-$\frac{16}{25}$（x-3），化为16x+25y-98=0．
（2）解法一：当k存在时，由（1）可得：$\frac{2{x}_{0}-4}{25}$+$\frac{2{y}_{0}-2}{16}k$=0，又$k=\frac{{y}_{0}-2}{{x}_{0}-3}$≥0，
∴$\frac{{x}_{0}-2}{25}+\frac{{y}_{0}-1}{16}×\frac{{y}_{0}-2}{{x}_{0}-3}$=0，化为16（x₀-2）（x₀-3）+25（y₀-1）（y₀-2）=0，
又$\sqrt{（{x}_{0}-3）^{2}+（{y}_{0}-2）^{2}}$=1，化为$（{x}_{0}-3）^{2}+（{y}_{0}-2）^{2}$=1，
联立解得$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{0}=3}\\{{y}_{0}=1}\end{array}\right.$，或$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{0}=2}\\{{y}_{0}=2}\end{array}\right.$．
当$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{0}=3}\\{{y}_{0}=1}\end{array}\right.$时，直线的斜率不存在，也满足题意．
综上可得直线的方程为：x=3或y=2．
解法二：设过点M（3，2）的直线的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=3+tcosα}\\{y=2+tsinα}\end{array}\right.$（t为参数），α为直线的倾斜角．
代入椭圆方程可得：（16cos²α+25sin²α）t²+（32cosα+50sinα）t-359=0，∵M到此弦的中心距离为1，
∴$|\frac{{t}_{1}+{t}_{2}}{2}|$=$\frac{16cosα+25sinα}{16co{s}^{2}α+25si{n}^{2}α}$=1，0°≤α≤90°．
∵cosα≥cos²α，sinα≥sin²α，
∴等号成立的充要条件是：cosα=cos²α，sinα=sin²α，
解得α=0°或90°．故此时此弦所在直线的方程为：x=3或y=2．

点评 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题、直线的参数方程及其应用、中点坐标公式、斜率计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于难题．