Question

13．已知函数y=$\frac{x+1-a}{a-x}$．
（1）若函数图象的对称中心是（2，-1），求a的值；
（2）若a+1≤x≤a+2，求函数值y的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用分式函数的性质，结合函数图象的对称中心是（2，-1），即可求a的值；
（2）根据分式函数的单调性进行求解即可．

解答 解：（1）y=$\frac{x+1-a}{a-x}$=$\frac{x-a}{a-x}$+$\frac{1}{a-x}$=-1-$\frac{1}{x-a}$，
则函数的对称中心为（a，-1），
∵函数图象的对称中心是（2，-1），
∴a=2；
（2）∵y=-1-$\frac{1}{x-a}$，在a+1≤x≤a+2上为增函数，
∴当x=a+1时，函数取得最小值y=-1-$\frac{1}{a+1-a}$=-1-1=-2，
当x=a+2时，函数取得最大值y=-1-$\frac{1}{a+2-a}$=-1-$\frac{1}{2}$=-$\frac{3}{2}$，
即-2≤y≤-$\frac{3}{2}$．

点评 本题主要考查分式函数的对称性以及函数最值的求解，利用分子常数化是解决本题的关键．