Question

16．已知函数f（x）=sinx+acosx的图象的一条对称轴是$x=\frac{π}{4}$，若不等式asin²x+cosx-t≥0对$x∈[-\frac{π}{3}，\frac{π}{2}]$恒成立，则t的取值范围是（　　）

• A． （-∞，1]
• B． （-∞，2]
• C． （1，+∞）
• D． （0，1）

Answer 1

分析 由三角函数图象的对称性可得a=1，问题转化为只需t≤sin²x+cosx在$x∈[-\frac{π}{3}，\frac{π}{2}]$的最小值即可，由二次函数区间的最值可得．

解答 解：∵函数f（x）=sinx+acosx的图象的一条对称轴是$x=\frac{π}{4}$，
∴f（0）=f（$\frac{π}{2}$），代值可得a=1，
∵不等式asin²x+cosx-t≥0对$x∈[-\frac{π}{3}，\frac{π}{2}]$恒成立，
∴不等式sin²x+cosx-t≥0对$x∈[-\frac{π}{3}，\frac{π}{2}]$恒成立，
∴不等式t≤sin²x+cosx对$x∈[-\frac{π}{3}，\frac{π}{2}]$恒成立，
只需t≤sin²x+cosx在$x∈[-\frac{π}{3}，\frac{π}{2}]$的最小值即可，
变形可得y=sin²x+cosx=-cos²x+cosx+1=-（cosx-$\frac{1}{2}$）²+$\frac{5}{4}$，
∵$x∈[-\frac{π}{3}，\frac{π}{2}]$，∴cosx∈[0，1]，
由二次函数可知当cosx=0或1时，y取最小值1，
∴t的取值范围为（-∞，1]，
故选：A．

点评 本题考查三角函数的图象和性质，涉及三角形图象的对称性和恒成立问题以及二次函数区间的最值，属中档题．