题目内容
15．当x∈R，|x|＜1时，有如下表达式：1+x+x2+…+xn+…=$\frac{1}{1-x}$；两边同时积分得：${∫}_{0}^{\frac{1}{2}}$1dx+${∫}_{0}^{\frac{1}{2}}$xdx+${∫}_{0}^{\frac{1}{2}}$x2dx+…${∫}_{0}^{\frac{1}{2}}$xndx+…=${∫}_{0}^{\frac{1}{2}}$$\frac{1}{1-x}$dx；
从而得到如下等式：1×$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$×（$\frac{1}{2}$）2+$\frac{1}{3}$×（$\frac{1}{2}$）3+…$\frac{1}{n+1}$×（$\frac{1}{2}$）n+1+…=ln2；
请根据以下材料所蕴含的数学思想方法，计算：C${\;}_{1}^{0}$×$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$C${\;}_{n}^{1}$×（$\frac{1}{2}$）2+$\frac{1}{3}$C${\;}_{n}^{2}$×（$\frac{1}{2}$）3+…$\frac{1}{n+1}$C${\;}_{n}^{n}$×（$\frac{1}{2}$）n+1=$\frac{1}{n+1}[（\frac{3}{2}）^{n+1}-1]$．
分析 根据二项式定理得Cn0+Cn1x+Cn2x2+…+Cnnxn=（1+x）n，两边同时积分整理后，整理即可得到结论．
解答 解：二项式定理得Cn0+Cn1x+Cn2x2+…+Cnnxn=（1+x）n，
对Cn0+Cn1x+Cn2x2+…+Cnnxn=（1+x）n
两边同时积分得：${∫}_{0}^{\frac{1}{2}}$Cn0dx+${∫}_{0}^{\frac{1}{2}}$Cn1xdx+${∫}_{0}^{\frac{1}{2}}$Cn2x2dx+…+${∫}_{0}^{\frac{1}{2}}$Cnnxndx=${∫}_{0}^{\frac{1}{2}}$（1+x）ndx
从而得到如下等式：${C}_{n}^{0}$×$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$C${\;}_{n}^{1}$×（$\frac{1}{2}$）2+$\frac{1}{3}$C${\;}_{n}^{2}$×（$\frac{1}{2}$）3+…$\frac{1}{n+1}$C${\;}_{n}^{n}$×（$\frac{1}{2}$）n+1=$\frac{1}{n+1}[（\frac{3}{2}）^{n+1}-1]$
故答案为：$\frac{1}{n+1}[（\frac{3}{2}）^{n+1}-1]$．
点评 本题主要考查二项式定理的应用．是道好题，解决问题的关键在于对Cn0+Cn1x+Cn2x2+…+Cnnxn=（1+x）n，两边同时积分，要是想不到这一点，就变成难题了．
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