Question

16．（1）已知复数z满足：|z|=1+3i-z，求$\frac{{{{（1+i）}^2}{{（3+4i）}^2}}}{2z}$的值．
（2）已知函数y=（x+1）（x+2）（x+3）．求该函数的导函数．
（3）求不等式-1＜x²+2x-1≤2的解集．

Answer 1

分析 （1）利用复数的运算法则、模的计算公式、复数相等即可得出；
（2）展开利用导数的运算法则即可得出；
（3）利用一元二次不等式的解法、交集的运算性质即可得出．

解答 解：（1）设z=a+bi，（a，b∈R），而|z|=1+3i-z，即$\sqrt{{a^2}+{b^2}}-1-3i+a+bi=0$，
则$\left\{\begin{array}{l}\sqrt{{a^2}+{b^2}}+a-1=0\\ b-3=0\end{array}\right.⇒\left\{\begin{array}{l}a=-4\\ b=3\end{array}\right.，z=-4+3i$，
$\frac{{{{（1+i）}^2}{{（3+4i）}^2}}}{2z}=\frac{2i（-7+24i）}{2（-4+3i）}=\frac{24+7i}{4-i}=3+4i$．
（2）y=（x²+3x+2）（x+3）=x³+6x²+11x+6，
∴y′=3x²+12x+11．
（3）∵$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+2x-3≤0}\\{{x}^{2}+2x＞0}\end{array}\right.$，
∴-3≤x＜-2或0＜x≤1．
∴不等式的解集{x|-3≤x＜-2或0＜x≤1}．

点评 本题考查了复数的运算法则、模的计算公式、复数相等、导数的运算法则、一元二次不等式的解法、交集的运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．