Question

17．如图，已知在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=AA₁=2，二面角A-C₁C-B的大小为$\frac{π}{3}$，点D线段BC的中点．
（1）若AB=AC，求证：平面BB₁C₁C⊥平面AB₁D；
（2）当三棱柱ABC-A₁B₁C₁的体积最大时，求直线A₁D与平面AB₁D所成角θ的正弦值．

Answer 1

分析 （1）若AB=AC，证明：AD⊥平面BB₁C₁C，即可证明平面BB₁C₁C⊥平面AB₁D；
（2）当三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面积最大时，体积最大，利用等体积方法求出A₁到平面AB₁D的距离，即可求直线A₁D与平面AB₁D所成角θ的正弦值．

解答 （1）证明：由题意，∠ACB=$\frac{π}{3}$，AB=AC，
∴△ABC为正三角形，∴AD⊥BC，AD⊥CC₁，
∴AD⊥平面BB₁C₁C，
∵AD?平面AB₁D，
∴平面BB₁C₁C⊥平面AB₁D；
（2）解：当三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面积最大时，体积最大，
∵4=AB²=$A{C}^{2}+B{C}^{2}-2AC•BC•\frac{1}{2}$≥AC•BC-AC•BC=AC•BC，
∴当AC=BC，三角形ABC为正三角形时面积取最大值，
设A₁到平面AB₁D的距离为d，则由等体积可得$\frac{1}{3}{S}_{△A{B}_{1}D}•d=\frac{1}{3}•\frac{1}{2}•AD•D{B}_{1}•d=\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴d=$\frac{2}{\sqrt{5}}$，
∴sinθ=$\frac{d}{{A}_{1}D}=\frac{\frac{2}{\sqrt{5}}}{\sqrt{7}}$=$\frac{2\sqrt{35}}{35}$．

点评 本题考查线面、面面垂直的证明，考查线面角，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．