Question

15．设{a_n}是单调递增的等差数列，S_n为其前n项和，且满足3S₄=2S₅，a₅+2是a₃，a₁₂的等比中项．
（I）求数列{a_n}的通项公式；
（II）若数列{b_n}满足$\frac{b_1}{a_1}+\frac{b_2}{a_2}+…+\frac{b_n}{a_n}={3^{n+1}}-3（{n∈{N^*}}）$，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （I）设单调递增的等差数列{a_n}的公差为d＞0，由3S₄=2S₅，a₅+2是a₃，a₁₂的等比中项，可得$3（4{a}_{1}+\frac{4×3}{2}d）$=$2（5{a}_{1}+\frac{5×4}{2}d）$，$（{a}_{1}+4d+2）^{2}$=（a₁+2d）（a₁+11d），联立解得a₁，d，即可得出．
（II）由数列{b_n}满足$\frac{b_1}{a_1}+\frac{b_2}{a_2}+…+\frac{b_n}{a_n}={3^{n+1}}-3（{n∈{N^*}}）$，n≥2时，$\frac{{b}_{1}}{{a}_{1}}$+$\frac{{b}_{2}}{{a}_{2}}$+…+$\frac{{b}_{n-1}}{{a}_{n-1}}$=3ⁿ-3，相减可得：$\frac{{b}_{n}}{{a}_{n}}$=2×3ⁿ．
当n=1时，a₁=2，b₁=12，上式也成立．再利用错位相减法与等比数列的求和公式即可得出．

解答 解：（I）设单调递增的等差数列{a_n}的公差为d＞0，∵3S₄=2S₅，a₅+2是a₃，a₁₂的等比中项，
∴$3（4{a}_{1}+\frac{4×3}{2}d）$=$2（5{a}_{1}+\frac{5×4}{2}d）$，$（{a}_{1}+4d+2）^{2}$=（a₁+2d）（a₁+11d），联立解得a₁=2=d，
∴a_n=2+2（n-1）=2n．
（II）由数列{b_n}满足$\frac{b_1}{a_1}+\frac{b_2}{a_2}+…+\frac{b_n}{a_n}={3^{n+1}}-3（{n∈{N^*}}）$，
∴n≥2时，$\frac{{b}_{1}}{{a}_{1}}$+$\frac{{b}_{2}}{{a}_{2}}$+…+$\frac{{b}_{n-1}}{{a}_{n-1}}$=3ⁿ-3，相减可得：$\frac{{b}_{n}}{{a}_{n}}$=2×3ⁿ．
∴b_n=4n×3ⁿ．
当n=1时，a₁=2，b₁=2×（3²-3）=12，上式也成立．
∴b_n=4n×3ⁿ．
∴数列{b_n}的前n项和T_n=4[3+2×3²+…+（n-1）•3^n-1+n•3ⁿ]，
3T_n=4[3²+2×3³+…+（n-1）•3ⁿ+n•3ⁿ⁺¹]，
∴-2T_n=4（3+3²+…+3ⁿ-n×3ⁿ⁺¹）=4×$[\frac{3（{3}^{n}-1）}{3-1}-n×{3}^{n+1}]$，
∴T_n=（2n-1）•3ⁿ⁺¹+3．

点评 本题考查了数列递推关系、等差数列与等比数列的通项公式求和公式及其性质、错位相减法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．