Question

19．函数f（x）=sin（2x+φ）（|φ|＜$\frac{π}{2}$）的图象向左平移$\frac{π}{6}$个单位后关于y轴对称，则f（x）在[0，$\frac{π}{2}$]上的单调递增区间为[$\frac{5π}{12}$，$\frac{π}{2}$]．

Answer 1

分析 利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，余弦函数的图象的对称性，求得φ的值，再利用余弦函数的单调性，求得f（x）在[0，$\frac{π}{2}$]上的单调递增区间．

解答 解：函数f（x）=sin（2x+φ）（|φ|＜$\frac{π}{2}$）的图象向左平移$\frac{π}{6}$个单位后，可得y=sin（2x+$\frac{π}{3}$+φ）的图象，
根据所得函数的图象关于y轴对称，可得$\frac{π}{3}$+φ=kπ+$\frac{π}{2}$，∴φ=$\frac{π}{6}$，
则f（x）=cos2x，令2kπ-π≤2x+$\frac{π}{6}$≤2kπ，求得kπ-$\frac{7π}{12}$≤x≤kπ-$\frac{π}{12}$，
可得函数的增区间为[得kπ-$\frac{7π}{12}$，kπ-$\frac{π}{12}$]，k∈Z，
故函数在[0，$\frac{π}{2}$]上的单调递增区间为[$\frac{5π}{12}$，$\frac{π}{2}$]，
故答案为：[$\frac{5π}{12}$，$\frac{π}{2}$]．

点评 本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，余弦函数的图象的对称性以及余弦函数的单调性，属于基础题．